تناهی ابعاد
ذخیره مقاله با فرمت پی دی اف
تناهی ابعاد، از خواص و عوارض
جسم و از مقاصد و مباحث
علم طبیعی می‌باشد.
تناهی، به معنای
حد و طرف داشتن و محدود بودن است و عدم
تناهی به معنای بی حد و نامحدود بودن.
تناهی به معنای حقیقی، وصفی است که به کمیّت و امور کمّی، به جهت کمیّت آنها، تعلق می‌گیرد. به عبارت دیگر،
تناهی حقیقی از لوازم ذاتی کمیّت است؛ بنابراین، چیزی که کمیّت ندارد،
نهایت ندارد و به سلب مطلق متصف به عدم
تناهی است، مانند نقطه که چون کمیّت ندارد
نهایت نیز ندارد اما خود نقطه
نهایت و طرف خط است و خط به آن محدود می‌شود. اینگونه سلب
تناهی از نقطه، از قبیل دیده نشدنِ صداست، زیرا
صدا دارای وصفی که دیدن به آن تعلق گیرد نیست. قسم دیگر عدم
تناهی، که درباره
وجود آن بحث و نزاع است، این است که یک شی ء به جهت
ماهیت و طبیعتش
نهایت بردار است ولی
نهایت ندارد، مانند خطی که مفروضاً نامتناهی است. نامتناهی به این نحو بدین معنی است که «هر چه از آن بر گیری باز از آن چیزی باقی می‌ماند».
بحث درباره عدم
تناهی و امکان وجود امور نامتناهی همواره یکی از موضوعات مورد توجه
فیلسوفان و ریاضیدانها بوده است و در این باب آرای گوناگونی بیان شده است.
یکی از مواضع بحث درباره نامتناهی، در حکمت قدیم، در بحث از جسم و ماهیت و اجزای آن است که با عنوان
تناهی ابعاد مطرح شده است
بُعد (جمع آن ابعاد) عبارت است از فاصله و امتدادِ قابل اشاره حسی که میان دو حدی که با هم تلاقی و برخورد ندارند قرار گرفته است.
مراد از ابعاد در مسئله
تناهی ابعاد، امتدادهای سه گانه
طول و
عرض و
عمق است که بر
جسم عارض می‌شوند و بنابراین قائم به جسم‌اند و به این اعتبار آنها را ابعاد مادّی می‌گویند.
علاوه بر این ابعاد، برخی
حکما قائل به وجود بُعد مجردند، یعنی بُعدی که قائم به جسم و
مادّه نباشد، و
مکان را چنین بُعدی دانسته اند. در نظر ایشان مکان، بُعد یا ابعاد میانیِ اطرافی است که یک جسم در میان آن قرار می‌گیرد و تجرد این ابعاد نظیر تجرد موجودات مثالی است که در عالمی میان عالم عقول و عالم جسمانی قرار دارند. این قول را به
افلاطون و پیروان اشراقی او نسبت داده اند.
نظر
صدرالدین شیرازی و
سبزواری نیز درباره مکان همین است. عده ای از کسانی که درباره مکان چنین می‌اندیشند، معتقدند که وقتی چیزی این بُعد را پر کند
محال است که آن را خالی کند، مگر این‌که جسم دیگری جای آن را بگیرد و پر کند. بنا بر رأی گروهی دیگر، این بُعد ممکن است گاهی خالی و گاهی پر باشد؛ یعنی به وجود
خلأ نیز قائل اند.
بسیاری از
متکلمان مکان را بُعد موهوم دانسته اند.
همچنین بنا بر رأی برخی، برای ابعاد سه گانه طول و عرض و عمق (که از امور ریاضی و تعلیمی به شمار می‌روند)، فردی عقلانی و مجرد از مادّه در عالم مفارقات موجود است که مبدأ پیدایش افراد مادّی و طبیعیِ این ابعاد در عالم مادّی اند.
رأی مشهور و
اجماع حکما بر این است که ابعاد جسم، متناهی و محدود به حدی است و برای اثبات مدعای خود براهینی اقامه کرده اند. در عین حال، بنا بر قول
لاهیجی حکمای
هند و گروهی از متقدمان و نیز
ابوالبرکات بغدادی از متأخران، به عدم
تناهی ابعاد قائل شده اند.
ارسطو وجود مقدار نامتناهیِ از طریق افزایش را، چه بالفعل چه بالقوه، محال دانسته و در این باب برهانی اقامه کرده است. در متون و منابع فلسفه اسلامی نیز برای اثبات
تناهی ابعاد براهینی اقامه شده است که عبارت‌اند از: سُلّم یا سُلّمی، تطبیق، تُرسی، حفظ النسبة، مُسامتة، و موازات
برهان تُرسی و برهان حفظ النسبة تقریر دیگری از برهان سُلّمی است
برهان تُرسی را شیخ اشراق
سهروردی با تغییر و تصرف در برهان سُلّمی برای تقویت آن در اثبات مدعا ابداع کرده است.
در میان براهین مذکور برای اثبات
تناهی ابعاد، این برهان معمولاً بیش از سایر براهین در این باب، مورد توجه و نقد و بررسی بوده است. این برهان را در متون
فلسفه اسلامی، نخست
ابن سینا،
با تصحیح و تقریر جدیدی از برهانی که حکمای پیشین اقامه کرده بودند، بیان کرد. عنوان
برهان سُلّمی یا سُلّم بدین جهت است که چون شکل آن ــ بنا بر فرضی که در برهان می‌شود ــ ترسیم شود، شبیه نردبان (= سُلّم) است
تقریر اولیه این برهان بدین شرح است: فرض می‌کنیم که از نقطه الف، دو خط مانند دو ساق مثلث تا بی
نهایت امتداد یابد. معلوم است که هر قدر طول این دو ساق افزایش یابد، فاصله و بُعد میان آن دو (که به منزله وتر است) افزایش می‌یابد. پس اگر افزایش طول آن دو ساق
نهایتی نداشته باشد، بُعد میان آن دو نیز نامتناهی خواهد بود و چون این بُعد یا وترِ نامتناهی در میان آن دو خط واقع شده، و به عبارت دیگر محصور و محدود میان دو حد است، اشکال حصرِ نامتناهی لازم می‌آید و این محال است، زیرا لازمه حصرِ نامتناهی این است که متناهی باشد و این تناقض است؛ چون امتداد غیرمتناهی دو ساق مستلزم چنین محالی است، وجود خود آن دو ساقِ نامتناهی نیز
محال است.
ابن سینا
بر برهان سلّمی اشکال کرده، سپس با افزودن مقدماتی آن را اصلاح نموده است. اشکال وی بدین شرح است که تعداد نامتناهی افزایش دو ساق ملازم با عدم
تناهی بُعد میان آن دو نیست، چنانکه در عدد نیز هر تعدادی که بر آن افزوده شود حتی به دفعات غیرمتناهی، باز هم می‌توان بر آن افزود و هیچ اشکال عقلی لازم نمی‌آید، زیرا نتیجه حاصل از افزایش متناهی بر مقدار متناهی، متناهی است («الزائدُ علی المتناهی بقدرِالمتناهی، مُتَناهٍ»). در فرض دو ساق ممتد مذکور اگر به دفعات نامتناهی بر آنها مقداری اضافه شود، چون هر بار مقداری متناهی به آن دو افزوده می‌شود، از افزایش مقدار متناهی بر متناهی، بُعد نامتناهی لازم نمی‌آید. ابن سینا
ابن سینا با ذکر چهار مقدمه، تقریر صحیح برهان سلّم را در اثبات
تناهی ابعاد عرضه می‌کند.
اگر وجود ابعاد غیرمتناهی ممتنع نباشد، پس جایز است که از نقطه واحدی (مثلاً الف) دو خط نامتناهی مانند دو ساق مثلث (مثلاً خط «الف ب» و «الف ج») که پیوسته فاصله میان آنها افزوده می‌شود، تا بی
نهایت امتداد یابد.
همچنین جایز است که ابعادی میان دو ساق مذکور فرض شود که به یک نسبت افزایش پذیرد. مثلاً، اگر بُعد اول یک متر باشد، بُعد دوم نیم متر افزون بر بُعد اول یعنی یک مترونیم باشد، و بُعد سوم نیم متر افزون بر بُعد دوم یعنی دومتر باشد و همچنین سایر ابعاد مفروض میان دو ساق مفروض.
جایز است که ابعاد میان دوساق مذکور («الف ب» و «الف ج») نامتناهی باشد، بنابراین، افزایش تفاوت ابعاد نیز نامتناهی خواهد بود.
در هر بُعدی که میان دو ساق فرض شود علاوه بر مقداری که بر آن افزوده می‌شود باید مشتمل بر امتداد بُعد قبلی باشد؛ بنابراین، ممکن است بُعدی موجود باشد که علاوه بر امتداد زائد بر امتداد بُعد قبلی، مشتمل بر تمام افزوده های ابعاد قبلی اش باشد. نتیجه حاصل از ترکیب و تلفیق مقدمات مذکور این است که یا بُعد واحدی که مشتمل بر تمام افزایشهای نامتناهی مادونش باشد موجود است یا موجود نیست. شق دوم باطل است زیرا در این صورت بین دو ساق «الف ب» و «الف ج»، یا بُعدی موجود خواهد بود که فوق آن بُعدی نیست، یا بین آن دو ساق، بُعدی موجود است که فوق آن، (بی
نهایت) ابعاد دیگر هست. در صورتی که چنین بُعدی موجود نباشد، انقطاع و در نتیجه
تناهی دوساق مذکور لازم می‌آید و این خلاف فرض است؛ چون فرض بر عدم
تناهی دو ساق مذکور بود؛ پس مطلوب، یعنی
تناهی ابعاد، ثابت می‌شود و اگر بُعدی موجود باشد که فوق آن نیز ابعادی مشتمل بر افزایشهای نامتناهی موجود باشد در این صورت لازم می‌آید که بُعد نامتناهی، میان دو ساق مذکور واقع شود؛ بنابراین، نامتناهی محدود و محصور بین دو حد خواهد بود، و این خلاف فرض است، زیرا هر چیزی که میان دوحد قرار گیرد محدود و متناهی است و به عبارت دیگر لازم می‌آید که یک چیز هم متناهی و هم نامتناهی باشد، و این تناقض و محال است؛ پس، عدم
تناهی ابعاد، که مستلزم تناقض و محال است، خود نیز محال است
کره ای فرض می‌کنیم و یک قطر آن را در نظر می‌گیریم، این قطر، متناهی است. در صورتی که بُعد نامتناهی ممکن باشد می‌توان یک
خط نامتناهی به موازات قطر کره فرض کرد. در این حال دو خط موازی وجود دارد: یکی قطر کره و دیگری خط نامتناهی. اگر کره را به سمت خط نامتناهیِ موازیِ قطر کره حرکت دهیم، در این صورت خط قطری، از موازاتِ با آن خط نامتناهی خارج می‌شود و به سمت آن متمایل می‌گردد. این حالت را مسامته می‌گویند. در صورتی که وجود خط نامتناهی محال نباشد، لازم می‌آید مسامته و حرکت کره محال باشد. چون تالی فاسد است، پس مقدّم نیز باطل است. دلیل بطلان تالی این است که مسامته، امری حادث است. هر حادثی اول دارد. پس مسامته قطر کره با خط نامتناهی نیز باید نقطه اول داشته باشد. اگر خط مفروض، متناهی باشد، اولین نقطه مسامته در رأس آن خط است. اما در این خط نامتناهی، نقطه اول مسامته نمی‌تواند موجود باشد، زیرا هر نقطه ای که فرض شود بالاتر از آن نیز نقطه دیگری هست چون نامتناهی است. نمی‌توان گفت مسامته هم با نقطه تحتانی است و هم با نقطه فوقانی، چون اولین نقطه مسامته فقط یک نقطه است. همچنین نمی‌توان گفت که اولین نقطه مسامته، در نقطه تحتانی است نه در نقطه فوقانی؛ چون طفره لازم می‌آید. نیز نمی‌توان نقطه فوقانی را اولین نقطه مسامته دانست، چون فوق آن باز نقطه دیگری هست و بالاتر از آن نیز تا بی
نهایت نقاط دیگری وجود دارد. در این صورت، هیچ نقطه ای در این خط نامتناهی اولین نقطه مسامته نیست. پس مسامته بدون اول خواهد بود و این امر، به دلیل حادث بودن مسامته، محال است. بنابراین فرض و نتیجه حاصل از آن، حرکت کره محال خواهد بود، حال آن‌که حرکت کره محال نیست، بلکه واقع شده است. پس خط نامتناهی محال است
برهان موازات مبتنی بر عکس فرض مذکور در برهان مسامته است.
لاهیجی این دو برهان را به دلیل اشکالات وارد بر آنها، ضعیف شمرده است
.
گفتنی است که
تناهی ابعاد از مقدّمات برخی مسائل دیگر در علم طبیعی و مابعدالطبیعه (فلسفه اولی) است، مانند اثبات محدِّدالجهات که از مسائل
علم طبیعی است، و مانند اثبات تلازم مادّه و صورت که از مسائل امور عامه در
مابعدالطبیعه به شمار می‌رود
(۱) ابن سینا، الاشارات والتنبیهات، مع الشرح لنصیرالدین طوسی و شرح الشرح لقطب الدین رازی، تهران ۱۴۰۳.
(۲) ابن سینا، الالهیّات من کتاب الشّفاء، چاپ حسن حسن زاده آملی، قم ۱۳۷۶ ش.
(۳) ابن سینا، حدود، یا، تعریفات، ترجمه محمد مهدی فولادوند، همراه متن عربی، تهران ۱۳۶۶ ش الف.
(۴) ابن سینا، شرحی الاشارات، لنصیرالدین طوسی و لفخرالدین رازی، (قاهره) ۱۳۰۶، چاپ افست قم ۱۴۰۴.
(۵) ابن سینا، الشفاء، الطبیعیات، ج ۱، الفن الاول: السماع الطبیعی، چاپ ابراهیم مدکور و سعید زاید، قاهره ۱۳۸۵/۱۹۶۵، چاپ افست قم ۱۴۰۵.
(۶) ابن سینا، فنون سماع طبیعی، آسمان و جهان، کون و فساد از کتاب شفا، ترجمه محمدعلی فروغی، تهران ۱۳۶۶ ش ب.
(۷) ابوالبرکات بغدادی، الکتاب المعتبر فی الحکمة، حیدرآباد دکن ۱۳۵۷ـ ۱۳۵۸، چاپ افست اصفهان ۱۳۷۳ ش.
(۸) ارسطو، سماع طبیعی، ترجمه محمدحسن لطفی تبریزی، تهران ۱۳۷۸ ش.
(۹) عبداللّه جوادی آملی، رحیق مختوم: شرح حکمت متعالیه، ج ۲، بخش ۱، قم ۱۳۷۶.
(۱۰) هادی بن مهدی سبزواری، شرح منظومه : (قسمت فلسفه)، چاپ سنگی (تهران) ۱۲۹۸.
(۱۱) یحیی بن حبش سهروردی، مجموعه مصنّفات شیخ اشراق، ج ۴، چاپ نجفقلی حبیبی، تهران ۱۳۸۰ ش.
(۱۲) محمد بن ابراهیم صدرالدین شیرازی، الحکمة المتعالیة فی الاسفار العقلیة الاربعة، تهران ۱۳۳۷ ش، چاپ افست قم (بی تا).
(۱۳) محمد بن ابراهیم صدرالدین شیرازی، شرح الهدایة الاثیریة، (چاپ سنگی تهران ۱۳۱۳)، چاپ افست (بی جا، بی تا).
(۱۴) علی لاریجانی، «نقد آراء حکما در باب
تناهی ابعاد»، در آیت حُسن: جشن نامة بزرگداشت استاد حسن زاده آملی، زیر نظر مهدی گلشنی، تهران: پژوهشگاه علوم انسانی و مطالعات فرهنگی، ۱۳۷۴ ش.
(۱۵) عبدالرزاق بن علی لاهیجی، شوارق الالهام فی شرح تجریدالکلام، چاپ سنگی تهران ۱۳۰۶
دانشنامه جهان اسلام، بنیاد دائرة المعارف اسلامی، برگرفته از مقاله «تناهی ابعاد»، شماره.
